Bertrand's paradox (베르트랑의 역설)

베르트랑의 역설(Bertrand's paradox)은 19세기 프랑스의 수학자 조세프 베르트랑(Joseph Bertrand)에 의해 제기된 확률 이론의 역설적인 문제입니다. 이 역설은 다양한 방식으로 정의될 수 있지만, 가장 잘 알려진 형태는 다음과 같습니다.

원의 둘레에 완전히 랜덤하게 한 점을 찍을 때, 그 점을 기준으로 만들어지는 무작위한 선분 중에서 어떤 선분이 원 내부를 완전히 둘러싸고 있는지의 확률을 생각해 보는 문제입니다. 이때 선분의 길이는 원의 둘레를 기준으로 랜덤하게 선택됩니다.

베르트랑의 역설은 선분의 길이를 선택하는 방법에 따라서 이 문제의 답이 다르게 나온다는 것을 보여줍니다. 

선분의 길이를 선택하는 방법으로는 다음 세 가지가 가장 일반적으로 고려됩니다.

1. 원의 지름에 평행한 선분을 선택한다.
2. 원의 중심으로부터 일정 거리 이하의 선분을 선택한다.
3. 원의 둘레에서 임의의 두 점을 선택하고, 그 두 점을 연결하는 선분을 선택한다.

 

이 세 가지 방법에 따라 선분의 길이를 선택하면, 

선분이 원 내부를 완전히 둘러싸고 있는 경우의 확률은 서로 다른 값으로 나타납니다. 

이러한 다양한 결과로 인해 베르트랑의 역설은 확률 이론의 해석과 무작위성에 대한 이해를 깊이 있게 탐구하는 계기가 되었습니다. 이후 많은 수학자들이 이 문제에 대해 연구하고 다양한 해석을 제시하였습니다.